The brane action for coherent ∞-operads

L'action de membranes pour les ∞-opérades cohérentes

Hugo Pourcelot (1)

1 Université Sorbonne Paris Nord

We study the brane action, which endows the space of extensions of the identity of a coherent ∞-operad O with a canonical O-algebra structure in the ∞- category of cospans of spaces. First, we prove that Mann–Robalo’s construction of the brane action ex- tends to general coherent ∞-operads, with possibly multiple colors and non- contractible spaces of unary operations. Second, we establish that Lurie’s model of the space of extensions of an operation is equivalent to Mann–Robalo’s model, via an explicit zigzag of homotopy equivalences. In the monochromatic case, contrary to what is claimed in existing liter- ature, we show that the space of extensions in the sense of Lurie is not in general equivalent to the homotopy fiber of the associated forgetful morphism, but rather to its homotopy quotient by the ∞-group of unary operations. As a consequence of these results, we prove that the ∞-operads of B-framed little disks are coherent and admit brane actions related to string topology opera- tions.

Cette thèse porte sur l’action de membranes, un mécanisme qui munit l’espace des extensions de l’opération identité dans une ∞-opérade cohérente O d’une structure canonique de O-algèbre dans l’∞-catégorie des cocorrespondances d’espaces. Dans un premier temps, on démontre que la construction donnée par Mann– Robalo de cette action s’étend aux ∞-opérades cohérentes générales, sans re- striction sur l’espace des couleurs ni sur celui des opérations unaires. On établit ensuite l’équivalence entre les modèles de Lurie et de Mann–Robalo de l’espace des extensions d’une opération, en les reliant par un zigzag explicite d’équivalences d’homotopie. Dans le cas monochromatique, on démontre que, contrairement à ce que la littérature existante suppose, l’espace des extensions au sens de Lurie n’est en général pas équivalent à la fibre homotopique du morphisme d’oubli associé mais en est un quotient homotopique par l’action de l’∞-groupe des opérations unaires. Comme conséquence de ces résultats, on montre que les ∞-opérades de petits disques à repères tordues sont cohérentes et admettent une action de membranes reliée aux opérations de topologie des cordes.

Mots clés: Brane action; operads; coherent ∞-operads; higher category theory; marked simplicial sets; little disks operad; string and brane topology; topological field theories.

Mots clés: Action de membranes; opérades; ∞-opérades cohérentes; théorie des catégories supérieures; ensembles simpliciaux marqués; opérade des petits disques; topologie des cordes et des membranes; théories topologiques des champs.

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]

Hugo Pourcelot. The brane action for coherent ∞-operads. Algebraic Topology [math.AT]. Université Sorbonne Paris Nord, 2022. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03912237v1⟩