Une étude du rang du noyau de l'équation de Helmholtz : application des H-matrices à l'EFIE

Résumé : La résolution de problèmes d’onde par une méthode d’éléments finis de frontière (BEM) conduit à des systèmes d’équations linéaires pleins dont la taille augmente très vite pour les applications pratiques. Il est alors impératif d’employer des méthodes de résolution dites rapides. La méthode des multipôles rapides (FMM) accélère la résolution de ces systèmes par des algorithmes itératifs. La méthode des H-matrices permet d’accélérer les solveurs directs nécessaires aux cas d’application massivement multi-seconds membres. Elle a été introduite et théoriquement justifiée dans le cas de l’équation de Laplace.Néanmoins elle s’avère performante au-delà de ce qui est attendu pour des problèmes d’onde relativement haute fréquence. L’objectif de cette thèse est de comprendre pourquoi la méthode fonctionne et proposer des améliorations pour des fréquences plus élevées.Une H-matrice est une représentation hiérarchique par arbre permettant un stockage compressé des données grâce à une séparation des interactions proches (ou singulières)et lointaines (dites admissibles). Un bloc admissible a une représentation de rang faible de type UVT tandis que les interactions singulières sont représentées par des blocs pleins de petites tailles. Cette méthode permet une approximation rapide d’une matrice BEM par une H-matrice ainsi qu’une méthode de factorisation rapide de type Cholesky dont les facteurs sont également de type H-matrice.Nous montrons la nécessité d’un critère d’admissibilité dépendant de la fréquence et introduisons un critère dit de Fresnel basé sur la zone de diffraction de Fresnel. Ceci permet de contrôler la croissance du rang d’un bloc et nous proposons une estimation précise de celui-ci à haute fréquence à partir de résultats sur les fonctions d’onde sphéroïdales.Nous en déduisons une méthode de type HCA-II, robuste et fiable, d’assemblage rapide compressé à la précision voulue.Nous étudions les propriétés de cet algorithme en fonction de divers paramètres et leur influence sur le contrôle et la croissance du rang en fonction de la fréquence.Nous introduisons la notion de section efficace d’interaction entre deux clusters vérifiant le critère de Fresnel. Si celle-ci n’est pas dégénérée, le rang du bloc croît au plus linéairement avec la fréquence ; pour une interaction entre deux clusters coplanaires nous montrons une croissance comme la racine carrée de la fréquence. Ces développements sont illustrés sur des maillages représentatifs des interactions à haute fréquence.
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Soumis le : jeudi 18 avril 2019 - 14:25:18
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Kieran Delamotte. Une étude du rang du noyau de l'équation de Helmholtz : application des H-matrices à l'EFIE. Mathématiques générales [math.GM]. Université Sorbonne Paris Cité, 2016. Français. ⟨NNT : 2016USPCD051⟩. ⟨tel-02103232v2⟩

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